フィンエアーの名古屋→ヘルシンキ便に乗りました。
座席指定は、昔乗ったときは予約時点で無料でできた記憶がありますが、今回は予約時点では有料でした。無料で行う方法があるのか検証してみました。
結論としては、座席指定料金が含まれていない運賃で予約した場合、どの段階でも座席指定は有料でした。
JAL経由で予約
私が乗った便はJL6805便で、フィンエアーAY80便のコードシェア便です。
フィンエアーで予約するより預け入れ荷物付きの料金が安かったためJAL経由で予約しました。
予約運賃はEconomy Specialで、座席指定はJAL運行便のみ可能です。この便はフィンエアー運航便なので座席指定はJALのサイトからはできません。

ちなみに、フィンエアー経由で予約する場合でも、安い運賃のEconomy SaverとEconomy Classicでは無料での座席指定はできません。Economy Flexから座席指定が可能です。
フィンエアーのサイト
JALで予約しましたが、eチケットに書かれた予約管理番号を使えばフィンエアーのサイトでも予約内容を確認できます。
「予約の管理」画面
予約の管理画面から座席指定を行えます。
指定料金は、エコノミークラスの普通席で8420円でした。

オンラインチェックイン
出発の36時間前からオンラインチェックインができるようになります。
この時点で席が割り振られます。その席ままでよければ無料ですが、他の座席に変更したい場合は有料です。
今回は66Dが割り振られました。これを例えば、60Hの窓側の席に変更するには8430円掛かります。

空港のチェックインカウンター
最後に、空港のチェックインカウンターで荷物を預ける際に、座席変更できるかを聞いてみたところ、同じく有料ならできるという回答でした。
まとめ
フィンエアー経由で、かつ座席指定料金が含まれた運賃で予約した場合を除き、座席の指定は有料でした。
窓側や通路側を確保したい場合は、フィンエアーのEconomy Flexで予約するか、座席指定の追加料金を支払いましょう。